3 Beregninger
Statiske beregninger
     
     

Forside | Indholdsfortegnelse | <<< | >>>

     
           

 

   

7.3 Bygningsdelstatistik

     
     

 

     
     

7.3.5 Søjler

Beregning af en søjle omfatter i det generelle tilfælde følgende i brudgrænsetilstanden:

• bæreevne for central last
• bæreevne for excentrisk last
• detailbæreevner

og følgende i anvendelsesgrænsetilstanden:

• udbøjningsvurdering
• revneviddebestemmelse.

I alle søjleberegninger er den fri søjlelængde, ls, en afgørende parameter. Den fri søjlelængde er for en søjle med givet tværsnit og givne understøtningsforhold lig med den højde, der for en simpelt understøttet søjle med samme tværsnit giver samme bæreevne som den aktuelle søjle. Den fri søjlelængde er på figur 7.3.5/1 vist for nogle sædvanligt forekommende understøtningsforhold.



Hvor der regnes med indspænding ved en understøtning skal indspændingens eftergivelighed altid vurderes. Det kan gøres ved en undersøgelse af vinkeldrejningen af understøtningen, fremtvunget af søjlens indspændingsmoment, M´.
Derefter findes søjlens udbøjning, u´, svarende til en påtrykt vinkeldrejning, ved den undersøgte understøtning. Denne udbøjning sammenlignes med udbøjningen, u, fundet ved søjleberegningen med ideale understøtningsforhold. Hvis ikke u >> u´, skal søjleberegningen revurderes.




I den følgende gennemgang forudsættes en tværsnitsgeometri for søjlen som vist på figur 7.3.5/3.

Som anført på figuren henføres søjlens snitkræfter, M og N, i farligste snit til tværsnittets midte.

I det generelle tilfælde er trækarmeringsarealet, Ast, forskellig fra trykarmeringsarealet, Asc. De tilsvarende armeringsforhold defineres ved:



Til brug i de senere beregninger indføres desuden



Ved instabilitetsundersøgelserne anvendes efter DS 411 følgende stivhedsparametre:



Bæreevner for central last
Søjlens kritiske normalkraft kan direkte bestemmes af formlerne i DS 411. Med tværsnitshøjden h i udbøjningsretningen bliver slankhedsforholdet



så den kritiske betontrykspænding for et rektangulært tværsnit kan skrives



Denne kritiske betonspænding er på figur 7.3.5/4 vist som funktion af ls/h inden for rimelige slankhedsforhold.



Ved design af søjleelementer af jernbeton anbefales det at overholde følgende grænser:



samt at undgå overlapningsstød. Hermed bliver



og desuden fås:



Dermed medfører de anbefalede begrænsninger at følgende udtryk for søjlens kritiske normalkraft bliver dimensionsgivende:



Den regningsmæssige normalkraft i søjlen må ikke overstige denne værdi, heller ikke ved excentrisk belastede søjler.

I (7.3.5-8) indsættes for værdien



Bæreevne for excentrisk last
Bæreevneberegningen for den excentrisk belastede søjle baseres på elasticitetsteorien, idet der forudsættes plan tøjningsfordeling over hele tværsnittet.

Den plane tøjningsfordeling giver følgende sammenhænge mellem spændingerne i tværsnittet:





Ligningen for lodret ligevægt i søjletværsnittet er:



medens momentligevægt om tværsnittets midterakse giver



Den tilsvarende krumning findes af



så det samlede moment der skal optages af tværsnittet bliver



hvor M0 er det ydre moment fra tværbelastning på søjlen, og e1 er normalkraftens exentricitet uden udbøjningsbidrag.



Bæreevneeftervisning kan foretages på to forskellige måder. Den traditionelle metode er en spændingseftervisning, hvor det kontrolleres at der eksisterer en ligevægtstilstand hvor spændingerne fra den påførte belastning ikke overstiger materialestyrkerne.

Alternativt kan der foretages en direkte bæreevnebestemmelse, hvor momentkapaciteten bestemmes som funktion af normalkraften.

Spændingseftervisning

Beregningen er en iterativ proces, hvor der gættes en udbøjning



og der regnes videre med det resulterende moment



For et revnet tværsnit, dvs, for hc h giver ligningerne (7.3.5-9) til (7.3.5-13) følgende trediegradsligning til bestemmelse af hc:



Samtidig bliver



hvor



idet der er indført parameteren ß = hc/h

For sædvanlige søjleelementer af jernbeton vil følgende forudsætninger normalt uden videre kunne opfyldes:



Løsningen af (7.3.5-15) kan i så fald aflæses i efterfølgende diagram 7.3.5/7.

Det kontrolleres nu at udbøjningen



med bestemt ved (7.3.5-14) svarer til den gættede udbøjning, uo. I modsat fald regnes om til passende overensstemmelse er opnået. Når det er tilfredsstillet kontrolleres at spændingerne ikke overstiger de regningsmæssige styrker, dvs.:



hvor også parametre og ´ kan aflæses af figur 7.3.5/7:



Hvis udtrykket (7.3.5-15) fører til en værdi hc > h, er tværsnittet urevnet. Dermed kan tværsnittet undersøges med metoderne fra den tekniske elasticitetsteori. De transformerede tværsnitskonstanter bliver:



Den maximale betonspænding bliver da



medens nulliniedybden nu bliver





Herefter kan udbøjningskontrollen foretages som for det revnede tværsnit. Når passende overensstemmelse er opnået bestemmes de øvrige spændinger af (7.3.5-9), (7.3.5-10), og det kontrolleres nu at



Det er unødvendigt at kontrollere st når hc > h.

Eksempel



En søjle med fri søjlelængde på ls, = 4800 mm og tværsnit som vist påvirkes af følgende ydre laster:



Udbøjningen gættes



Ved hjælp af diagrammet findes nu µ, , ´ og ß



Derved bliver:



Krumningen findes da af (7.3.5-14):



For betonstyrken fck = 30 MPa kan uo eventuelt skønnes svarende til krumningen i den senere viste figur 7.3.5/12.

Endelig kontrolleres at



idet cr aflæses af figur 7.3.5/4.

Bæreevnebestemmelse
Ved bæreevnebestemmelsen findes søjlens regningsmæssige momentkapacitet som funktion af normalkraften:



idet spændingstilstanden for en given værdi af Nd fastlægges så Mud (Nd) bliver størst mulig. For den givne værdi af Nd skal følgende krav da opfyldes:



Metoden beskrevet i det følgende er velegnet til opstilling af designdiagrammer. Diagrammerne vist i det afsluttende eksempel vil i mange tilfælde direkte kunne anvendes til dimensionering af søjleelementer.

Moderate søjlelængder
Ved moderate søjlelængder udtømmes søjlens bæreevne svarende til materialebrud i beton eller armering. For sædvanlige søjleelementer vil følgende tre brudtilfælde have interesse:

Tilfælde A, hvor det maximale moment svarer til revnet tværsnit (hc h) og flydning i trækarmeringen. Dermed bliver spændingerne som funktion af hc:


Tilfælde B, hvor det maximale moment svarer til revnet tværsnit (hc h) og trykbrud i betonen:


Tilfælde C, hvor det maximale moment svarer til urevnet tværsnit (hc h) og trykbrud i betonen:


Dermed bliver de øvrige spændinger i dette tilfælde:



Se også figur 7.3.5/10, der viser grænserne mellem de tre tilfælde. I alle tilfældene forudsættes trykarmeringens flydespænding at være tilstrækkelig stor til at flydning i denne armering undgås.



Indsættes spændingskomponenterne svarende til tilfælde A i ligevægtsligningen (7.3.5-12), og løses denne ligning med hensyn til hc, fås:



hvor N er indført ved (7.3.5-3), og hvor der er indført hjælpeparameteren



Bemærk at alene afhænger af armeringskvaliteten.

Med den fundne nulliniedybde kan spændingskomponenterne beregnes, hvorefter momentbæreevnen beregnes af formlerne (7.3.5-13), (7.3.5-14) og (7.3.5-16).

Tilfælde A gælder kun så længe det opfyldes at



hvilket svarer til



Indsat i (7.3.5-17) kan denne betingelse omskrives til



For større værdier af normalkraften findes momentbæreevnen svarende til tilfælde B. Indsættelse af spændingskomponenterne i (7.3.5-12) giver nu:



hvorved momentbæreevnen atter er fastlagt. Udtrykket (7.3.5-19) gælder kun for hc h hvilket er ensbetydende med at



Er dette ikke opfyldt findes momentbæreevnen svarende til tilfælde C, hvor nulliniedybden nu findes til



Hermed er momentbæreevnen fastlagt for alle de tre brudtilfælde under meget generelle forudsætninger.

For sædvanlige søjleelementer af jernbeton vil følgende forudsætninger normalt uden videre kunne opfyldes:



Dermed kan et søjletværsnits totale momentkapacitet aflæses af basisdiagrammet, figur 7.3.5/11, der er optegnet for a = 0,125 h, c = p, og fyk, = 550 MPa.

Den valgte armeringskvalitet svarer til at



Som nævnt er det en forudsætning for beregningerne at trykarmeringen ikke flyder, dvs:



Den maximale værdi af sc optræder i tilfælde B og C, hvor udtrykkene for sc i begge tilfælde antager maximum for hc= h. Med a = 0,125 h giver dette:



Armeringens karakteristiske trykflydespænding skal dermed opfylde:



hvilket som regel vil være opfyldt for såvel koldtdeformeret som ikke koldtdeformeret armering med fyk = 550 MPa.



Krumningerne bestemt ved (7.3.5-14) svarende til basisdiagrammets bæreevner er indtegnet på figur 7.3.5/12 for fck = 30 MPa. For en vilkårlig søjlelængde, ls, kan søjlens regningsmæssige momentbæreevne, Mud,a(Nd), herefter uden videre bestemmes ved at indsætte diagramværdierne for Mtot, og x i formel (7.3.5-16). Se nærmere i eksemplet næste side.



Specielt for indspændte søjler er det væsentligt at bemærke at det regningsmæssige moment ved indspændingen skal indeholde udbøjningsbidraget til momentet. Hvor søjlens kritiske snit ligger i indspændingen, skal søjletværsnittet således undersøges for et regningsmæssigt moment af størrelsen:



hvilket er lig med Mtot hvis søjlens momentbæreevne udnyttes fuldt ud.

Store slankhedsforhold
Ved store slankhedsforhold svarer løsningen med materialebrud i armering eller beton ikke nødvendigvis til den maximalt opnåelige bæreevne for en given normalkraft.

En bestemt krumning af søjlen svarer til ganske bestemte beton- og armeringsspændinger i søjletværsnittet. Det snitmoment der svarer til disse spændinger, vokser med stigende krumning og dermed også med stigende udbøjning af søjlen. For slanke søjler kan udbøjningstillægget (Nu) imidlertid vokse betydelig hurtigere end det nævnte snitmoment. Der kan derfor eksistere en ligevægtstilstand hvor udbøjningen er mindre end svarende til materialebrud, men hvor søjlens nettomomentkapacitet (Mud) for den givne normalkraft er større end svarende til materialebrud.

Som vist i det foregående svarer materialebrud til en ganske bestemt værdi af hc. En eventuel gunstigere ligevægtstil stand kan findes ved at efterprøve forholdene for en større nulliniedybde:



hvor hc er givet ved (7.3.5-17), (7.3.5-19) eller (7.3.5-21).

Af (7.3.5-12) findes den tilsvarende betonspænding:



De øvrige spændinger i søjletværsnittet beregnes derefter af (7,3.5-9), (7.3.5-10) og (7.3.5-11), hvorefter Mtot og x beregnes af (7.3.5-13) og (7.3.5-14). Det undersøges nu om nettomomentkapaciteten bestemt ved (7.3.5-16) er større end hvad der blev fundet svarende til materialebrud. Er dette tilfældet kan ny gennemregning foretages med yderligere øget nulliniedybde osv, indtil den størst opnåelige nettomomentkapacitet for den givne normalkraft er fundet.

Den her beskrevne beregning udføres mest hensigtsmæssigt ved hjælp af EDB.

Eksempel
Momentbæreevner for søjler med fck = 30 MPa
I de efterfølgende diagrammer er søjlernes momentbæreevne optegnet for forskellige værdier af ls/h, idet det forudsættes at



Af diagrammerne aflæses søjlens regningsmæssige moment bæreevne, µ:



I diagrammerne er bæreevnekurverne afskåret ved



svarende til den i figur 7.3.5/4 viste kritiske betonspænding.

Der er set bort fra at momentforøgelsen N · e2 iht betonnormen kan negligeres for



Regneeksempel



En søjle med fri søjlelængde på ls = 4800 mm og tværsnit som vist påvirkes af følgende ydre laster



Der anvendes diagrammet for



med indgangsparametrene



Af diagrammet aflæses den nødvendige armeringsmængde:



Søjlen armeres med 4Y20 ~ 1256 mm2.






7.3.6 Vægsøjler


Undersøgelse af vægges søjlestyrke deles i tre hovedtilfælde:

• uarmerede vægfelter
• netarmerede vægfelter
• dør- og vinduessøjler

For et uarmeret vægfelt må der højst regnes med en karakteristisk betontrykstyrke på fck = 25 MPa. Dermed bestemmes bæreevnen for centrallast ved



hvor b er vægfeltets bredde og h er væggens tykkelse.

For excentrisk last kan bæreevnen ifølge DS 411 bestemmes af



hvor e er normalkraftens exeentricitet, og hvor exponenten p sættes til:



Dermed fås generelt:



I denne formel indsættes



hvor Mo er det ydre moment svarende til lasten Nd. Dermed kræves at



hvoraf det ses, at det ydre moment svarende til lasten Nd skal overholde følgende betingelse:



Med denne formel er det enkelt at optegne bæreevnekurver for en uarmeret væg.

For netarmerede vægge og for dør- og vinduessøjler foregår beregningerne analogt til det i afsnit 7.3.5 gennemgåede.

Ved netarmerede vægge tages trykarmering ikke med i regning medmindre der træffes foranstaltninger til at hindre udknækning af trykarmeringen. Desuden skal det bemærkes at netarmering i vægge sjældent opfylder de krav, der
i DS 411 stilles for at kunne regne væggen armeret ved undersøgelse af den kritiske søjlelast for central belastning.



Ved undersøgelse af netarmerede vægfelter regnes væggen i så fald kun som en armeret konstruktion for excentrisk last, Normalkraften må for sådanne vægge aldrig overstige en tilsvarende uarmeret vægs bæreevne for central last. derunder skal de særlige krav vedrørende uarmerede vægges søjlelængde, tværsnit og maximal udnyttelse af betonstyrken respekteres.

For mange vægge kan den samlede last ofte med god nøjagtighed regnes sammensat af fire delkomponenter:

w, der er lokal vindlast på væggen

N1, der er lasten fra det ene dæk over etagen

N2, der er lasten fra det andet dæk over etagen


N3, der er øvrig lodret last på væggen. Heri medregnes halvdelen af det aktuelle vægelements egenvægt som en tilnærmet model for egenvægtens indvirkning.


Hver lastkomponent regnes virkende således at det resulterende moment i væggen bliver størst muligt i den enkelte lastkombination.

Ved undersøgelse af væggens søjlestyrke er det som regel de fire tilfælde A, B, C og D vist i skemaet, der påkalder sig interesse.

Det skal dog altid nøje vurderes om andre lastkombinationer er farligere, hvilket eksempelvis kan være tilfældet hvis der virker særlig stor last på højereliggende etagedæk.



I skemaet er anført hvorledes de enkelte delkomponenter medregnes i hvert enkelt tilfælde:

min

Kun konstruktionsegenvægte medregnes og dette med partialkoefficienten 0,85. Såfremt tyngden er særlig velbestemt kan der regnes med en værdi mellem 0,85 og 1,0

sædv:

Lastbidrag medregnes med deres sædvanlige værdi, dvs, permanente laster med partialkoefficienten 1,0 og variable laster med faktoren .

max:

Permanente laster medregnes med partialkoefficien ten 1,0, én variabel last medregnes med partialkoeflicienten 1,3 og øvrige variable laster med faktoren .


Hvor samme element optræder flere steder op gennem etagerne kan det i mange tilfælde vælges kun at undersøge nederste element for tilfælde C og D, medens tilfælde A og B undersøges for elementer højere oppe i bygningen.


Eksempel
Uarmerede vægfelter
For uarmerede vægfelter med karakteristisk betonstyrke på



bliver den regningsmæssige styrke



under forudsætning af normal sikkerhedsklasse og normal kontrolklasse.

Af (7.3.6-3) findes da bæreevnerne som vist på figur 7.3.6/3. På figuren er bæreevnekurverne afskåret svarende til



hvor minimumsexcentriciteten er sat til emin = 15 mm.

Der betragtes nu en væg i en bygning med 4 etager. Lasten på dækkene er som anført på figur 7.3.6/5, idet lastspecifikationerne refererer til de i afsnit 7.1.3 viste eksempler.

I alle etagerne er væggen 180 mm tyk. Elementernes geometri er vist på opstalten.

Tagopbygningen forudsættes udformet så lasten fra taget kun har ubetydelig excentricitet i væggen i etage 4.

Excentriciteten hidrørende fra elementets afvigelse fra den plane form er



Excentriciteten hidrørende fra forsætning af elementernes midterplan fra etage til etage er



For det dæk med minimalt vederlag over etagen fås:



idet det tilstræbte vederlag for dækket er sat til 75 mm. For dæk med maximalt vederlag over etagen er:



idet excentriciteterne alle regnes med fortegn.

På den sikre side regnes excentriciteten konstant i hele vægelementets højde.

Tilfælde A
Bygningen regnes forsynet med ventilationsanlæg, således at der ikke regnes med resulterende vindlast på væggen.
Tilfælde A bliver derved ukritisk.



??? Illustration s. 80

Tilfælde B
Da tagopbygningen kun antages at give ubetydelig excentricitet i væggen i etage 4, undersøges tilfælde B for væggen i næstøverste etage. Lasterne beregnes for vægfeltet mellem dørene, hvor der skal optages last fra en dækstrimmel med bredden 3,19 m.

Maximal last fra dæk med langt spænd:



Minimal last fra dæk med kort spænd:



idet der aktuelt ses bort fra at en del af nyttelasten tillades regnet som bunden last.

Minimal last i øvrigt, tag og væg:



På grund af udsparingen mellem dørene er den effektive bredde af vægfeltet:



Til indgang i bæreevnediagrammet figur 7.3.6/3 findes der med følgende sammenhørende værdier af normalkraft og moment:



Tilfælde C
Undersøges for nederste vægelement. Jvf, tilfælde B er:



medens sædvanlig last i øvrigt bliver:



I dette tilfælde findes da sammenhørende normalkraft og moment:



Tilfælde D
Undersøges for nederste vægelement. Jfr. tilfælde C er



medens maximal last fra dæk med kort spænd er



For øvrig last fås som i tilfælde C



Til indtegning i bæreevnediagrammet fås da:





På figur 7.3.6/6 er indtegnet den relevante bæreevnekurve fra figur 7.3.6/3 sammen med de sammenhørende værdier af normalkraft og moment for de gennemgående tilfælde. Bæreevnen ses i alle tilfælde at være tilstrækkelig.

Eksempel
Netarmerede vægfelter
På figur 7.3.6/7 er vist standard netarmering for vægtykkelser på 120, 150 og 180 mm. Der forudsættes følgende karakteristiske styrker for beton og armering:



hvilket i normal sikkerhedsklasse og normal kontrolklasse giver de regningsmæssige styrker:



Med den viste armering skal væggen regnes uarmeret ved undersøgelse af bæreevnen for central last.



For excentrisk last regnes armeringen placeret med den lodrette armerings centerakse i afstanden a fra træksiden i væggen. Bemærk at der for de to vægge med centralt placeret net er indregnet en ekstra usikkerhed på 5 mm på armeringsplaceringen.

På figur 7.3.6/8 er vist bæreevnekurver som beskrevet i af snit 7.3.5, idet kurverne er afskåret svarende til de tilsvarende uarmerede vægges bæreevne overfor central last.



Der betragtes nu en facadebagvæg i et boligbyggeri i 4 etager.

I alle etagerne forudsættes facadebagvæggen 120 mm tyk og forsynet med et standard armeringsnet i midten som vist på figur 7.3.6/7.

Elementernes geometri er vist på opstalten, figur 7.3.6/9.



Lasterne på dækkene refererer til eksemplerne på lastspeci fikationer DI og D2 i afsnit 7.1.3.

Tagopbygningen forudsættes udformet så lasten fra taget kun har ubetydelig excentricitet i væggen i etage 4.

Excentriciteten på grund af elementets afvigelse fra den plane form er



Excentriciteten hidrørende fra forsætning af elementernes midterplan fra etage til etage er



For dæk over etagen fås svarende til minimalt vederlag



idet det tilstræbte vederlag for dækket er sat til 65 mm.

Ovennævnte exeentriciteter svarer til det i DS 411 fastsatte for uarmerede vægge. Der er ikke tilsvarende regler for armerede vægge.

Tilfælde A
Undersøges for væggen i øverste etage. Maximal vindlast svarer til indvendigt overtryk, ci = 0,2, og udvendigt sug, cy. = 1,1, med hastighedstryk q = 0,72 kN/m2.



medens minimal last fra taget giver





idet lasten beregnes svarende til bredden 2,99 m mellem midte vinduer.

Med en effektiv bredde af vægfeltet på b = 1,78 m fås da:



Tilfælde B
Undersøges for væggen i næstøverste etage. Sædvanlig værdi af vindlast:



Maximal last fra dæk:



Minimal last i øvrigt, tag og væg:



Dermed fås:



Tilfælde C
Undersøges for væggen i nederste etage. Sædvanlig værdi af vindlast samt maximal værdi af last fra dæk over etagen som i tilfælde B.



Sædvanlig last i øvrigt:



Dermed fås i alt:



Tilfælde D
Udgår, da der kun er dæk fra én side.

Figur 7.3.6/11 viser den relevante bæreevnekurve fra figur 7.3.6/8 indtegnet sammen med de sammenhørende værdier af normalkraft og moment for de gennemgåede tilfælde. Bæreevnen ses i alle tilfælde at være tilstrækkelig.



Eksempel
Dør-. og vinduessøjler
På figur 7.36/12 er vist standardarmering til dør- og vindues søjler til vægge med tykkelser på 120, 150 og 180 mm. Der forudsættes følgende karakteristiske styrker for beton og armering:



hvilket i normal sikkerhedsklasse og normal kontrolklasse giver de regningsmæssige styrker:



Søjlernes effektive bredde regnes ca 50 mm mindre end modulbredden som anført på figuren pga. fortandingen.

Beregningsmæssigt forudsættes både træk- og trykarmering placeret i følgende afstande fra betonoverflader:



For h = 180 mm er a fastlagt så der ikke opstår flydning i trykarmeringen. Jfr. det i afsnit 7.3.5 gennemgåede fås:



Bæreevnediagrammerne kan herefter optegnes helt analogt med eksemplerne i afsnit 7.3.5, se de efterfølgende figurer.

Generelt bør vinduessøjler og dørsøjler ved udvendige døre mindst vælges med modulbredden b = 300 mm.

I tilknytning til undersøgelse af væggens søjlebæreevne skal også etagekrydsets bæreevne vurderes. Specielt ved dørsøjler kan det blive nødvendigt med særlige forholdsregler på grund af de koncentrerede tryk på etagekrydset. Se afsnit
7.4.2.




Der betragtes nu en 120 mm tyk facadebagvæg som i det foregående eksempel. Geometrien regnes ændret til det på figur 7.3.6/16 viste, hvor kantsøjlen bliver dimensionsgivende. De samhørende værdier af normalkraft og moment findes tilnærmet ud fra resultatet af de forskellige tilfælde i det foregående eksempel ved:



hvori der indsættes:



Tilfælde A:

Nd = 0,54 · 6,2 = 3,3 kN
Md = 0,54 · 1,7 = 0,9 kNm

Tilfælde B:

Nd = 0,54 · 62 = 33 kN
Md 0,54 · 3,0 = 1,6 kNm

Tilfælde C:

Nd = 0,54 · 170 = 92 kN
Md = 0,54 · 4,7 = 2,5 kNm

TilfældeD:

-


Figur 7.3.6/17 viser den relevante bæreevnekurve fra figur
7.3.6/14 indtegnet sammen med de sammenhørende værdier
af normalkraft og moment for de gennemgåede tilfælde.
Bæreevnen ses i alle tilfælde at være tilstrækkelig.




     
 

Forside | Indholdsfortegnelse | <<< | >>> | Til toppen af siden

 
   


 


   



BETONELEMENT-FORENINGEN